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A Matemática de Euler (Parte 1)

Já apresentei a série “O Cálculo de Leibniz” em [;5;] episódios. Em comemoração ao tricentésimo aniversário de nascimento de Leonhard Euler em [;2007;], Eric Merenstein fez um estudo minucioso de sua obra em várias áreas da Matemática e que agora apresentarei em vários episódios.


Veremos neste post suas contribuições em Análise seguindo as suas ideias. Assim, era muito comum que em suas demonstrações, o uso de grandezas infinitamente grandes ou infinitamente pequenas substituíam a Teoria dos Limites que teve seu desenvolvimento no século [;XIX;] com os trabalhos de Cauchy e Bolzano.


A sua grande perspicácia ao tratar os assuntos de Análise sempre o conduzia a resultados corretos. Assim, agindo desta forma, ele obteve as séries infinitas para as funções exponenciais, logarítmicas, a sua famosa identidade com números complexos e as constantes [;\pi;] e [;e;].


Para obter a série exponencial, Euler começou com a função [;y = a^x;] com [;a \succ 1;]. Em seguida, escreveu

 

[;a^{\omega} = 1 + \psi \qquad (1);]


onde [;\omega;] e [;\psi;] são dois números infinitesimais de mesma ordem, de modo que [;\psi = k\omega;] Portanto, [;k;]depende apenas de [;a;]. Assim,


[;a^x = (a^{\omega})^{x/\omega} = (1 + \psi)^{x/\omega};]

Fazendo [;j = x/\omega;] e usando o teorema binomial, temos:

[;a^x = (1 + k\omega)^{x/\omega} = \biggl(1 + \frac{kx}{j}\biggr)^{j};]

[;= 1 + j\biggl(\frac{kx}{j}\biggr) + \frac{j(j-1)}{2}\biggl(\frac{kx}{j}\biggr)^2 + \frac{j(j-1)(j-2)}{3!}\biggl(\frac{kx}{j}\biggr)^3+\ldots;]

[;=1 + kx + \frac{j-1}{j}\biggl(\frac{k^2x^2}{2\cdot 1}\biggr) + \frac{(j-1)(j-2)}{j\cdot j}\biggl(\frac{k^3x^3}{3\cdot 2\cdot 1}\biggr)+\ldots;]

Desde que [;x\ ;] é um número finito e [;\omega;] é um infinitésimo, então[;j;] é infinitamente grande e Euler concluiu que

[;\frac{j-1}{j} = \frac{j-2}{j}=\frac{j-3}{j}=\ldots = \frac{j-n}{j}=1;]

Observe que Euler trabalhou com grandezas infinitamente grande e infinitamente pequena, uma vez que a teoria de limites seria criada no século seguinte. De qualquer modo Euler estava correto em suas hipóteses. Portanto, a série para [;a^x;] é dada por

[;a^x = 1 + kx + \biggl(\frac{k^2x^2}{2\cdot 1}\biggr) + \biggl(\frac{k^3x^3}{3\cdot 2\cdot 1}\biggr) + \biggl(\frac{k^4x^4}{4\cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}\biggr) + \ldots;]

Fazendo [;x = 1;] temos:


[;a = 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\ldots;]

Ele calculou numericamente algumas decimais de [;a;] e obteve [;a = 2,7182818\ldots;] e designou essa constante pela letra [;e;]. Logo,

[;e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!}+\ldots = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!};]


Gostará de ler também
– Grandes Matemáticos (Leonhard Euler);

– Euler: O Mestre de Todos Nós;
– Uma Prova que e é Irracional;
– Euler e o Quadrilátero Convexo
– Alguns Matemáticos com suas Fórmulas Famosas.


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